常微分方程

一阶微分方程

基本概念

微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的等式；

$$y^{\prime }=x^2+y$$$$x(y^{\prime }{)}^2-2y^{\prime }+4x=0$$$$x{y}^{″}-2(y^{\prime }{)}^3+5xy=0$$$$cos(y^{″})=\ln y=x+1$$

常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程；

方程的“阶”：微分方程中未知函数导数的最高阶数；

方程的解：代入微分方程使得方程两端恒等的函数。

通解：方程解中含有与方程阶数相同个数的任意常数；

初始条件：用来确定方程通解中任意常数的条件；

特解：方程通解中任意常数被确定之后的解；

线性常微分方程：未知函数及其各阶导数均为一次的常微分方程。

可分离变量的微分方程

形如 dy/dx=f(x)g(y)的方程，其中f(x)只是x的函数，g(y)只是y的函数。

解可分离变量的方法是：

第一步：分离变量 将方程写成 g(y)dy=f(x)dx 的形式

第二步：两边积分 $\int g(y)dy=\int f(x)dx，\mathrm{得}G(y)=F(x)+C；$

第三步：求出由 G(y)=F(x)+C 所确定的函数

一阶线性微分方程

形如：y'+p(x)y=q(x)

条件：y和y’放到等号左边，其他放右边，y'前的系数为1

1、一阶线性齐次微分方程：

$$y^{\prime }+p(x)y=0=>\mathrm{通}\mathrm{解}：y=c{e}^{-\int p(x)dx}$$

2、一阶线性非齐次微分方程：

$$y^{\prime }+p(x)y=q(x)=>\mathrm{通}\mathrm{解}：y=(\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+c)e^{-\int p(x)dx}$$

常系数线性微分方程

二阶常系数线性微分方程

$$\mathrm{齐}\mathrm{次}：y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$$$$\mathrm{非}\mathrm{齐}\mathrm{次}：y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$$

线性微分方程解的性质

$$\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{通}\mathrm{解}：y=C_1{y}_1+C_2{y}_2$$$$\mathrm{非}\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{的}\mathrm{通}\mathrm{解}：y=C_1{y}_1+C_2{y}_2+y^{\ast }$$

求解二阶常系数线性齐次微分方程

求二阶常系数齐次线性微分方程 y''+py'+qy=0的通解步骤如下：

第一步：写出微分方程的特征方程r^2+pr+q=0;

第二步：求出特征根r_1和r_2;

第三步：根据r_1和r_2的三种不同情况，写出方程的通解。

特征方程的根与通解形式

$$\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{实}\mathrm{根}{r}_1\ne r_2，y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$$$$\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{相}\mathrm{等}\mathrm{实}\mathrm{根}{r}_1=r_2=r，y=(C_1+C_{2}x)e^{rx}$$$$\mathrm{一}\mathrm{对}\mathrm{共}\mathrm{轭}\mathrm{复}\mathrm{根}r=\alpha \pm \beta i，y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$$

求解二阶常系数线性非齐次微分方程

通解为

$$y=Y+y^{\ast }=C_1{y}_1+C_2{y}_2+y^{\ast }$$

其中y*是原方程的一个特解

Y=C1y1+C2y2 是原方程所对应的齐次的通解。

$$f(x)=p_m(x)e^{\lambda x}$$$$\mathrm{特}\mathrm{解}\mathrm{可}\mathrm{设}\mathrm{为}：$$$$y^{\ast }=x^k{Q}_n(x)e^{\lambda x}$$$$k=0，\lambda \mathrm{不}\mathrm{是}\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{根}$$$$k=1，\lambda \mathrm{是}\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{单}\mathrm{根}$$$$k=2，\lambda \mathrm{是}\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{重}\mathrm{根}$$