无穷级数

无穷级数的概念和性质

无穷级数

1 无穷数列

$$\begin{gathered} u_1、u_2、u_3，...，u_n，... \\ \mathrm{则}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n=u_1+u_2+...+u_n+... \end{gathered}$$

称为数项级数，简称级数，其中第n项u_n称为级数的通项或一般项。

该级数的前n项和为

$$S_n=u_1+u_2+...+u_n=\sum _{k=1}^n{u}_k$$

2 级数的收敛、发散

若级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$的部分和数列{S_n}的极限存在，即Lim_n->\infty S_n=S，则称该级数收敛；若部分和数列的极限不存在，则称该级数发散。

基本性质

• 如果级数u、v收敛，则 u+-v 也收敛；

• 级数u和cu(c为常数)有相同的敛散性；

• 添加、去掉或改变级数的有限项，所得级数的敛散性不变；

• 级数收敛的必要条件，若级数u收敛，则Lim_n->infty =0；

  逆否命题：如Limu≠0，则u发散。

几个重要极限

1. 等比级数（几何）

$$\begin{gathered} \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}a{q}^n,\mathrm{当}|q|<1\mathrm{收}\mathrm{敛}，|q|\ge 1\mathrm{发}\mathrm{散}； \\ \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a(1-q^n)}{1-q} \end{gathered}$$

2. P级数

$$\begin{gathered} \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^P}，P>1\mathrm{收}\mathrm{敛}，P\le 1\mathrm{发}\mathrm{散}； \\ \mathrm{当}P=1，\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}\mathrm{又}\mathrm{称}\mathrm{为}\mathrm{调}\mathrm{和}\mathrm{级}\mathrm{数}。 \end{gathered}$$

正项级数

若u_n≥0（n=1,2,...），则称级数u为正项级数

比较判别法

大收敛=>小收敛；小发散=>大发散

比值判别法

$$\mathrm{设}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n\mathrm{是}\mathrm{正}\mathrm{项}\mathrm{级}\mathrm{数}，\mathrm{且}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho ，\mathrm{则}$$$$\mathrm{当}\rho <1\mathrm{时}，\mathrm{级}\mathrm{数}\mathrm{收}\mathrm{敛}；$$$$\mathrm{当}\rho >1\mathrm{时}，\mathrm{级}\mathrm{数}\mathrm{发}\mathrm{散}；$$$$\mathrm{当}\rho =1\mathrm{时}，\mathrm{级}\mathrm{数}\mathrm{可}\mathrm{能}\mathrm{收}\mathrm{敛}，\mathrm{也}\mathrm{可}\mathrm{能}\mathrm{发}\mathrm{散}。$$

极限形式的比较判别法（忽略）

任意项级数

任意项级数

交错级数

形如u1-u2+u3-u4+...，其中u_n>0(n=1,2,3,...)，则称之为交错级数。

定理1

$$\mathrm{若}\mathrm{交}\mathrm{错}\mathrm{级}\mathrm{数}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{u}_n(u_n>0,n=1,2,3,...)$$$$\begin{gathered} (1)u_n\ge u_{n+1}(n=1,2,3,...); \\ (2)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0,\mathrm{则}\mathrm{收}\mathrm{敛} \end{gathered}$$

绝对收敛与条件收敛

定理2

$$\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{级}\mathrm{数}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|u_n|\mathrm{收}\mathrm{敛}，\mathrm{则}\mathrm{称}\mathrm{级}\mathrm{数}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n\mathrm{绝}\mathrm{对}\mathrm{收}\mathrm{敛}；$$$$\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{级}\mathrm{数}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n\mathrm{收}\mathrm{敛}，\mathrm{而}\mathrm{级}\mathrm{数}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|u_n|\mathrm{发}\mathrm{散}，\mathrm{则}\mathrm{称}\mathrm{级}\mathrm{数}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{收}\mathrm{敛}；$$

定理3

$$\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{级}\mathrm{数}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n\mathrm{绝}\mathrm{对}\mathrm{收}\mathrm{敛}，\mathrm{则}\mathrm{级}\mathrm{数}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n\mathrm{必}\mathrm{定}\mathrm{收}\mathrm{敛}；$$

幂级数

幂级数

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n+...$$

1、收敛半径和收敛区间（收敛域、发散域）

（1）收敛半径：幂级数收敛的范围（一定是关于一点对称）

（2）收敛区间：收敛范围

2、求收敛域

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|\frac{a_{n+1}{x}^{n+1}}{a_n{x}^n}|=|x|\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|$$$$1)R|x|<1=>-\frac{1}{R}<x<\frac{1}{R}$$$$2)0|x|<1=>-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$$$$3)\mathrm{\infty }|x|<1=>x=0$$

将初等函数展开成幂级数

将初等函数展开为幂级数

利用麦克劳林级数展开初等函数

幂级数的基本性质

性质2 对幂级数可以逐项求导

性质3 对幂级数可以逐项积分

几个常见的标准展开式

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+...+x^n+...=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n$$$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+...=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$$$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}...=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{n+1}}{n+1}$$

间接展开法

利用几个常用函数的幂级数展开式以及幂级数的四则运算、分析运算，函数的复合、变量代换等，将所给函数展开成幂函数。