多元函数微积分学

多元函数、极限、连续性

用不等式组表示平面区域

X => a<x<b, g(x)<y<h(x)

Y=> a<y<b, g(y)<x<h(y)

偏导数与全微分

偏导数

定义（求法）

从偏导数的定义可以看出，求多元函数对一个自变量的偏导数时，实际上只需将其他变量看成常数，按照一元函数的求导法则进行即可。

偏导数的几何意义

全微分

定义：函数z=f(x,y)的全微分

dz=偏导(z/x)dx+偏导(z/y)dy

复合函数微分法

$$\mathrm{设}z=f[u(x,y),v(x,y)]$$$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$$$$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$$

隐函数的微分法

1、一元隐函数

2、二元隐函数

设方程F(x,y,z)=0 确定函数 z=f(x,y);

$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z};\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$$

二元函数的极值

求z=f(x)的极值的步骤

1）对x、y分别偏导得到两个方程，解方程组求出f(x,y)的所有驻点

$$f_x(x,y)=0,f_y(x,y)=0$$$$=>(x_1,y_1)、（x_1,y_2）、(x_2,y_1)、（x_2,y_2）$$

2）求出函数f(x,y)的二阶偏导数，一次确定各驻点A、B、C的值，并根据AC-B^2的符号判定驻点是否为极值点

$$\mathrm{二}\mathrm{阶}\mathrm{偏}\mathrm{导}：f_{xx}(x,y),f_{xy}(x,y),f_{yy}(x,y)$$$$f_{xx}(x_0,y_0)=A,f_{xy}(x_0,y_0)=B,f_{yy}(x_0,y_0)=C$$$$(1)\mathrm{当}AC-B^2>0\mathrm{时}，f(x,y)\mathrm{在}(x_0,y_0)\mathrm{处}\mathrm{有}\mathrm{极}\mathrm{值}$$$$A>0\mathrm{时}\mathrm{有}\mathrm{极}\mathrm{小}\mathrm{值}f(x_0,y_0);$$$$A<0\mathrm{时}\mathrm{有}\mathrm{极}\mathrm{大}\mathrm{值}f(x_0,y_0);$$$$(2)\mathrm{当}AC-B^2<0\mathrm{时}，f(x,y)\mathrm{在}(x_0,y_0)\mathrm{处}\mathrm{没}\mathrm{有}\mathrm{极}\mathrm{值}$$$$(3)\mathrm{当}AC-B^2=0\mathrm{时}，\mathrm{无}\mathrm{法}\mathrm{判}\mathrm{断}$$

3）最后求出函数f(x,y)在极值点处的极值

二元函数的条件极值

对于函数的自变量无其他限制条件，这类极值称为无条件极值。实际问题中，常会遇到对函数自变量还有附加条件的极值问题，称为条件极值。

【拉格朗日乘数法】

求函数z=f(x,y)在条件varphi(x,y)=0的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：

1）构造拉格朗日函数

$$L(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \phi (x,y),\lambda \mathrm{为}\mathrm{常}\mathrm{数}$$

2）由方程组

$$L_x=f_x(x,y)+\lambda {\phi }_x(x,y)=0$$$$L_y=f_y(x,y)+\lambda {\phi }_y(x,y)=0$$$$L_{\lambda }=\phi (x,y)=0$$

解除x、y、lambda

二重积分的概念和性质

二重积分的概念

1、定义

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$$$$\begin{gathered} \mathrm{其}\mathrm{中}f(x,y)\mathrm{称}\mathrm{为}\mathrm{被}\mathrm{积}\mathrm{函}\mathrm{数}，d\sigma \mathrm{称}\mathrm{为}\mathrm{面}\mathrm{积}\mathrm{微}\mathrm{元}， \\ x\mathrm{和}y\mathrm{称}\mathrm{为}\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{变}\mathrm{量}，D\mathrm{称}\mathrm{为}\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{区}\mathrm{域} \end{gathered}$$

2、几何意义；求曲顶柱体的体积


3、物理意义

4、存在定理

二重积分的性质

性质1

$$\begin{gathered} {\iint }_D[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]d\sigma \\ =\alpha {\iint }_{D}f(x,y)d\sigma +\beta {\iint }_{D}g(x,y)d\sigma \end{gathered}$$

性质2

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D_1}f(x,y)d\sigma +{\iint }_{D_2}f(x,y)d\sigma$$

在直角坐标系下二重积分计算

二重积分在直角坐标系下的计算

假定积分区域D为如下X型区域

$$\{(x,y)|a\le x\le b,{\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)\}$$$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy$$

类似地，如果积分区域D为Y型区域

$$\{(x,y)|c\le y\le d,{\psi }_1(y)\le x\le {\psi }_2(y)\}$$$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_c^{d}dy{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)dx$$

先做含有变量的积分得到f(x,y)作为后一个积分的被积函数

极坐标系下二重积分的计算

在极坐标系下二重积分公式为

$$\alpha \le \theta \le \beta ,{\phi }_1(\theta )\le r\le {\phi }_2(\theta )$$$$\begin{gathered} {\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta \\ ={\int }_a^{b}d\theta {\int }_{{\phi }_1(\theta )}^{{\phi }_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr \end{gathered}$$

适用对象：

• 被积函数一般含有x^2+y^2
• 积分区域为圆域、扇形域、环形域