导数

导数

导数的概念与性质

导数的概念

函数值的改变量比函数的自变量的极限

$$y^{\prime }=f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}$$$$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$

导数的几何意义

函数在某一点的导数的几何意义等于过该点所对应曲线上一点的切线的斜率

$$f^{\prime }(x_0)=tan\alpha =k$$


可导与连续的关系

可导一定连续，连续不一定可导（y=|x|）

导数的运算

基本公式

$$C^{\prime }=0$$$$(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$$$$(a^x{)}^{\prime }=a^{x}lna$$$$(e^x{)}^{\prime }=e^x$$$$(lo{g}_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{xlna}$$$$(lnx{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$$$(sinx{)}^{\prime }=cosx$$$$(cosx{)}^{\prime }=-sinx$$$$(tanx{)}^{\prime }=se{c}^{2}x$$$$(cotx{)}^{\prime }=-cs{c}^{2}x$$$$(secx{)}^{\prime }=secxtanx$$$$(cscx{)}^{\prime }=-cscxcotx$$$$(arcsinx{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$$$(arccosx{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$$$(arctanx{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$$$(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$$$$(\sqrt{x}{)}^{\prime }=(x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$$$(\frac{1}{x}{)}^{\prime }=(x^{-1}{)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$$

基本法则

$$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$$$$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$$$$(cu{)}^{\prime }=c{u}^{\prime }$$$$(\frac{v}{u}{)}^{\prime }=\frac{v^{\prime }u-u^{\prime }v}{u^2}$$

复合函数求导

$$y=f[g(x)]=>y=f(u),u=g(x)$$$$y^{\prime }=f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)=f^{\prime }[g(x)]g^{\prime }(x)$$

步骤：复合函数的分解->代入复合函数求导公式->等量代换，消去中间变量

隐函数求导

实质是复合函数的求导 ，y作为复合函数，求导时还要乘上y'

参数方程求导

$$x=f(t),y=g(t)$$$$=>\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g^{\prime }(t)}{f^{\prime }(t)}$$

高阶导数

二阶导数 y'' 三阶导数 y''' 四阶导数 y^(4)

微分

微分的定义

已知y=f(x) => dy=f'(x)dx

实例：铁桶热胀冷缩时体积的改变量就是微分 （函数改变量的近似值）

微分中值定理（忽略）

洛必达法则

1、条件 0/0 或 oo/oo 未定式

2、法则

$$\underset{\mathrm{条}\mathrm{件}}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{\mathrm{条}\mathrm{件}}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=...$$

导数的应用

求曲线的切线方程和法线方程

过曲线上一点：（x0, f(x0)）

切线方程：

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$

法线方程：

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$$

法线 垂直于 切线，切线的斜率即x0的导数

函数的单调性和极值

1、函数的单调性

设y=f(x)在(a,b)内有定义，且可导

f'(x)>0 => f(x) 单调递增

f'(x)<0 => f(x) 单调递减

2、函数的极值

（1）相对的。定义：局部的最值

（2）必要条件：极值点一定是一阶导数为0的点或导数不存在的点

（3）第一充分条件：根据一阶导数符号判断

f'(x0)>0 f'(x0) f'(x0)<0 => 极大点

f'(x0)<0 f'(x0) f'(x0)>0 => 极小点

（4）第二充分条件：根据二阶导数符号判断

f''(x0)>0 极小点 f''(x0)<0 极大点

3、判断函数单调性和极值的步骤

（1）求出定义域（x的取值范围）

lnx => x>0，R 实数

（2）求一阶导数等于0的点或导数不存在的点

lnx=1 => x=e

（3）用第一充分条件或第二充分条件判断

函数的最值

1、函数最值的定义：整个定义域内的最大值或最小值

2、函数最值的求法

（1）求出一阶导数等于0的点或导数不存在的点所对应的值

（2）求出定义域（闭区间 ）的端点所对应的值

（3）比较上述点的大小

曲线的凹凸性

1、函数的凹凸性

设y=f(x)在（a,b）内二阶可导

f''(x)>0 => f(x) 凹

f''(x)<0 => f(x) 凸

2、曲线的拐点

（1）定义：凹凸区间的分界点

（2）求法：利用二阶导数的符号判断（求二阶导数等于0的点，判断左右符号，异号拐点）

3、判断函数凹凸性和拐点的步骤

利用二阶导数的符号判断

4、渐近线：函数图像无限接近的直线

5、渐近线的求法

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=c=>y=c$$$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }=>x=x_0$$

垂直渐近线，找使函数趋近于无穷大，通常找未定义的点。