一元函数积分学

不定积分

不定积分的概念和性质

1、原函数

如果F'(x)=f(x)，那么F(x)是f(x)的一个原函数

2、不定积分

求函数f(x)的全体原函数，记作

$$\int f(x)dx=F(x)+c$$

积分符号 \int , f(x)被积函数，x积分变量，c是任意常数

3、不定积分几何意义

4、原函数存在定理

不定积分的性质

体现了微分和积分互为逆运算

$$(\int f(x)dx{)}^{\prime }=f(x)$$$$\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+c$$$$d\int f(x)dx=f(x)dx$$$$\int df(x)=f(x)+c$$

求不定积分

1 直接积分法：包括基本公式和性质

（1）基本公式

$$\int kdx=kx+c(k\ne 0)$$$$\int x^{a}dx=\frac{1}{a+1}{x}^{a+1}+c(a\ne -1)$$$$\int \frac{1}{x}dx=ln|x|+c$$$$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{lna}+c$$$$\int e^{x}dx=e^x+c$$$$\int sinxdx=-cosx+c$$$$\int cosxdx=sinx+c$$$$\int se{c}^{2}xdx=tanx+c$$$$\int cs{c}^{2}xdx=-cotx+c$$$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsinx+c$$$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=arctanx+c$$

（2）基本性质

$$\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$$$$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$$

2 换元积分法

（1）第一换元积分法（凑微分法）

$$\int g[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)dx=\int g[\phi (x)]d\phi (x)$$$$=\int g(u)du$$$$=F(u)+C$$$$=F[\phi (x)]+C$$

凑微分 -> 换元 -> 直接积分 -> 等量代换

（2）第二换元积分法

解决对象：被积函数含有根号

解决思路：去掉分号

解决方法：简单根式代换 （三角代换：忽略）

3 分部积分法

解决对象（m,n为正整数）

$$x^{n}sinmx、x^{n}cosmx、e^{nx}sinmx、e^{nx}cosmx、x^n{e}^{mx}、x^n(lnx)、x^{n}arcsinmx、x^{n}arccosmx、x^{n}arctanmx$$

公式：

$$\int udv=uv-\int vdu$$

注意：

（1）v要用凑微分容易求出

（2）\int vdu 比 \int udv容易求

定积分

基本概念和性质

定积分的定义

$${\int }_a^{b}f(x)dx=I=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$

其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，[a,b]叫做积分区间。

定积分的存在定理（忽略）

定积分的几何意义

求曲边梯形的面积


定积分的性质

两点补充规定：

$$\mathrm{当}a=b\mathrm{时}，{\int }_a^{b}f(x)dx=0$$$$\mathrm{当}a>b\mathrm{时}，{\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$$

性质：

$$1）{\int }_a^b[f(x)\pm g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx\pm {\int }_a^{b}g(x)dx$$$$2）{\int }_a^{b}kf(x)dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx,(k\mathrm{为}\mathrm{常}\mathrm{数})$$$$3）{\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$

4）如果被积函数是奇函数，积分区间是对称的，定积分为0

牛顿——莱布尼茨公式

积分上限函数（变上限定积分）

$$\mathrm{\Phi }(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数

$${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x)=({\int }_a^{x}f(t)dt{)}^{\prime }=f(x)$$

如函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$$

定积分的换元积分法和分部积分法

无穷区间上的反常积分

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx=F(x){|}_a^{+\mathrm{\infty }}=F(+\mathrm{\infty })-F(a)$$$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}f(x)dx=F(x){|}_{-\mathrm{\infty }}^b=F(b)-F(-\mathrm{\infty })$$$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx=F(x){|}_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}=F(+\mathrm{\infty })-F(-\mathrm{\infty })$$

定积分的应用

求平面图形的面积

1、利用定积分的几何意义

2、利用微元法

（1）根据具体问题，选取一个积分变量，如x为积分变量，在它的变化区间[a,b]取一个区间微元[x,x+dx]，求出面积的近似值 dU=f(x)dx

（2）根据dU=f(x)dx写出积分表达式

$$U={\int }_a^{b}dU={\int }_a^{b}f(x)dx$$

求旋转体的体积


体积元素为

$$dV=\pi [f(x){]}^{2}dx$$

所求体积为

$$V={\int }_a^b\pi [f(x){]}^{2}dx$$