函数、极限、连续

函数

数与数的关系

函数定义域的求法

• 分式的分母不能为0
• 平方根的底数大于等于0
• 对数的真数大于0，底数大于0且不等于1

函数的性质

• 单调性

• 周期性

• 奇偶性 对称性

  偶：y轴对称（y=x^2）f(-x)=f(x)

  奇：原点对称（y=x^3）f(-x)=-f(x)

• 有界性

函数的分类

• 复合函数 函数中有函数 y=f[fi(x)]
• 分段函数 不同区间不同函数
• 隐函数 相对于显函数y=f(x)，二元方程

复合函数的分解

分解出来的函数须为初等函数

y=c, y=x^a, y=a^x, y=log_a x, y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx

y=secx=1/cosx 正格等于余弦的倒数, y=cscx=1/sinx 余格等于正弦的倒数

y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx

极限

极限的定义

Lt_x->∞ f(x)=A；Lt_x->x_0 f(x)=A

Lt_x->∞ f(x)=∞, 极限不存在

求极限的方法

直接代入（只要有意义）

洛必达法则*

• 0/0型
• ∞/∞型

无穷小和无穷大的性质

互为倒数

无穷小量与有界量的乘积是无穷小量

有界函数：sinx, cosx, arctanx, arccotx

三种特例

• 因式分解

• 分母分子有理化 （含有根号，同乘共轭分式 ）

• 分子分母同除以指数最高项

  x->∞, 有理分式

  Lt_x->∞ (a_0 x^m + a_1 x^m-1 + ...)/(b_0 x^n + b_a x^n-1 + ...)

  m<n => 0，m=n => a0/b0，m>n =>∞

两个重要极限

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx}{x}=1$$$$\underset{u(x)\to 0}{lim}\frac{sinu(x)}{u(x)}=1$$$$\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$$$$lim(1+A{)}^B=e$$

特点：1+ ；AB=1

等价无穷小的替代

设 limA = 0; limB = 0

• limA/B=0; A较B为高阶无穷小

• limA/B=∞; A较B为低阶无穷小

• limA/B=C≠0; A与B为同阶无穷小

• limA/B=1; A与B为等价无穷小

​ 等价无穷小：sinx ~ x，tanx ~ x，arcsinx ~ x，arctanx ~ x，1-cosx ~ x²/2，ln(1+x) ~ x，e^x - 1 ~ x，根号(1+x^2) -1 ~x²/2 （x为形参）

​ 特殊值：log e = 1，sin 0 = 0，cos 0 = 1

​ 对数的性质：对数前的系数可以移动作为真数的系数，alnx=lnx^a

连续

函数在一点连续的定义

• 函数Y=f(x)在点x0有定义
• Lim_x->x0 f(x)存在
• Lim_x->x0 f(x)=f(x0)

函数的间断点

如果函数在点x0不连续，则称x0为函数的间断点，判断方法

• 没有定义的点
• 极限不存在的点
• 极限值不等于函数值的点

渐近线

• 水平渐近线 limf(x)=a => y=a
• 垂直渐近线 lim_x->b f(x)=∞ => x=b 没有定义的点 求条件

介值定理

主要用于证明方程根的存在性。设有方程f(x)=0，如果有f(a)f(b)<0，则该方程在开区间（a，b）内至少有一实根。